学习了解分式方程以后，不少同学把增根与无解混为一谈，为了掌握这两个概念，现举例说明它们的区别和联系.
一.什么是分式方程的增根？
解分式方程时，由于在去分母把分式方程转化为整式方程这一变形中，未知数允许取值的范围扩大了，分式方程本身隐含着分母不为零的条件，如果转化过程中，方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式，即整式方程的根恰好有使原方程中分母的值为零，那么就会出现了不适合原方程的根，即增根，如:
解方程:1/x+3/(x一2)=一2/[x(x一)]......<1
解:去分母，得(x一2)+3x=一2.......<2
解得x=0
检验，x=0时原方程无意义.
所以，x=0是增根，原方程无解.
显然，方程<1中x≠0且x≠2，而去分母化为方程<2时，未知数x的取值范围扩大为全体实数，由方程<2解出的未知数的值有可能不是原方程<1的解，有可能出现增根，困此要检验.
那么怎样才能求出分式方程的增根呢？分式方程的增根必须满足两个条件，①分式方程去分母变为整式方程后，这个整式方程有解，增根是这个整式方程的解;②增根使分式方程的分母为零(或使最简公分母为零.
如，关于分式方程3/(x²一x)+6/(1一x²)=7/(x²+x)的增根情况，下列说法正确的是(_____)
A.有增根是0和一1.B.有增根是0和一1、1
C.有增根是一1，D.有增根是1
一般，学生会假定最简公分母x(x+1)(x一1)，得出B选项，那就错了.先看解答.
解:方程去分母得，3(x+1)一6x=7(x一1)
解得x=1，
检验，x=1时，x(x+1)(x一1)=0
所以，x=1是增根，原方程无解.
通过解答应选(D)，所以说，求增根应通过动手计算才能得出，不能用最简公分母为零求得，这里x=1，满足上面所说的两个条件，是增根，而x=0或x=一1就不是化简后整式方程的根，就不是增根，尽管它们能使最简公分母为零.
二.解分式方程\"必须检验”的原因
解分式方程比解整式方程的步骤多一步检验，这个检验不是检验计算过程是否正确，而是检验是否出现在化整式方程时所乘的最简公分母是否为0，当它为0时，未知数的值就是方程的增根.增根是方程正常变形造成的，不是解题中运算造成的，因此解分式方程时要检验求得的整式方程的根是否是增根.
三.什么是分式方程的无解？
方式方程的无解是指分式方程本身就是一个矛盾等式，不论未知数取何值都不能使方程两边的值相等.如2/x=0，不论x取何值，都不能使方程成立，这个方程无解.分式方程无解包括两种情况:一种情况是分式方程变形后，整式方程本身无解;另一种情况是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值都为零，即为分式方程的增根，所以原分式方程无解.
例1.解方程.(x一1)/(2+x)=(3一x)/(2十x)+2
解:方程两边同乘(2+x)，得
x一1=3一x+2(2+x)
整理得0x=8
此方程无解，所以原分式方程无解.
例2，解方程x/(x一1)一1=3/[(x一1)(x+2)]
解:方程两边同乘(x一1)(x+2)，得
x(x+2)一(x一1)(x+2)=3
整理得x十2=3
解得x=1
检验，x=1时，(x一1)(x+2)=0，故x=1是原分式方程的增根，原分式方程无解.
以上两例造成分式方程无解的原因不同，例1方程无解是因为分式方程化为整式方程后，整式方程本身无解，例2是分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解是增根，则原分式方程无解.
三.有增根的分式方程就是无解方程，无解的分式方程一定有增根吗？
有增根的分式方程不一定无解，无解的分式方程也不一定有增根.如，
解方程:2x/(x十1)十1/(x²十x)=(x十1)/x.
解:去分母，得x(x一2)=0
解得x=2或x=0，此时x=0是增根，原方程并非无解，还有一根x=2，而像方程(x十2)/x=1，去分母化为，0=一2，此方程虽无解，但原方程无增根.
四.在分式方程有增根或无解条件下，如何求含参数的值呢？
(一)在分式方程有增根条件下求参数的值
我们知道，增根不是原分式方程的根，但它是去分母后所得整式方程的根，同时增根还能使原方式方程的最简公分母为零.利用这一点就能解一类含参数的习题.
例1.若关于x的方程1/(x一1)+2/(x+2)=K/(x²+x一2)会产生增根，求K的值.
解:原方程去分母，得(x+2)十2(x一1)=K
因为原方程的最简公分母为(x一1)(x十2)，所以方程的增根可能是x=1，或x=一2.若增根为x=1，代入(x+2)+2(x一1)=K，得K=3;若增根为x=一2，代入(x+2)十2(x一1)=K，得K=一6，
所以，K=3或K=一6时原方程会产生增根.
例2.m为何值时，关于x的方程2/(x一2)十mx/(x²一4)=3/(x+2)会产生增根？
解:原方程去分母，得2x+4+mx=3x一6
整理，得(m一1)x=一10
当m≠1时，x=一10/(m一1)
若方程产生增根，此时(x+2)(x一2)=0，x=2或x=一2
(1)若x=2，则一10/(m一1)=2，m=一4.
(2)若x=一2，则一10/(m一1)=一2，m=6.
综上，当m=一4或6时，原方程产生增根.
(二)分式方程无解条件下求参数的值
例1.若关于x的方程(4一ax)/(x+2)=3无解，求a的值.
解:原方程变形，得4一ax=3x十6，即(a+3)x=一2
(1)当a+3=0时，a=一3，整式方程(a十3)x=一2无解，则原分式方程无解.
(2)当a+3≠0，即a≠一3时，有x=一2/(a+3)因原分式方程无解，故x+2=0，x=一2，∴一2/(a+3)=一2，解得a=一2.
综上所述，当a=一2或a=一3时，原分式方程无解.
例2.若关于x的分式方程(x一m)/(x一1)一3/x=1无解，求m的值.
解:原方程两边同时乖以x(x一1)，得
x(x一m)一3(x一1)=x(x一1)
整理，得(m+2)x=3
(1)当m+2=0时，m=一2，整式方程(m+2)x=3，无解，则原分式方程无解.
(2)当m+2≠0，即m≠一2时，有x=3/(m+2)因原分式方程无解，∴x=0，或x=1，而x=0时整式方程为0=3，无解;x=1时，3/(m+2)=1，解得m=1.
综上所述，当m=1或m=一2时，原分式方程无解.
五.分式方程出题时，出现增垠与无解该如何区分？(或增根与无解是什么关系)
常见有三种情况:
(一)无解=增根
如.当K为何值时，方程x/(x一3)一4=k/(x一3)无解.
解:方程两边同乘(x一3)，得
x一4(x一3)=K
整理，得x=一(K一12)/3，因为方程无解，所以x=一(K一12)/3是分式方程的增根，而由x一3=0，得增根是x=3，∴一(K一12)/3=3，解得K=3，
此题中，无解与增根，意义一样.
(二)无解增根，有些题目中无解比增根的范围大，如:
若关于x的分式方程(2a+1)/(x+1)=a无解，则a的值是多少？
解:分式方程两边同乘(x+1)，得
2a+1=ax十a，即ax=a+1
未知数x前边带了含字母的系数，需讨论
(1)若a=0时，则整式方程无解，原分式方程也无解.
(2)若a≠0，则x=(a+1)/a，∵分式方程的增根为x=一1，若分式方程无解，则(a十1)/a=一1，解得a=一1/2.
∴当a=0或a=一1/2时，原方程无解.
此时，无解增根，若此题改为，若关于x的分式方程(2a+1)/(x+1)=a有增根，则a的值为多少？就不存在a=0的情况了，只能是a=一1/2.
(三)无解≠增根
如，方程1/(x一5)=0，此方程无解，也并不是因为增根造成的无解，所以这种情况，无解≠增根.
【总结】通过上例分析，对分式方程涉及无解和增根问题，求解方法如下:
(1)找准最简公分母，并使分式方程两边每一项同时乘以它，得到一个整式方程.
(2)整理所得的整式方程，化为ax=b的形式
(3)观察未知数x的系数
①当未知数的系数是不含字母的数字时，此时原分式方程的无解或有增根是一样的，都只有唯一的答案，只需直接解出未知数的值，这个值使得最简公分母为零，从而求出相应的字母的值即可.
②当未知数的系数是含有字母的单项式或多项式时，此时原分式方程无解或有增根的情况就不同了.无解，要分整式方程无解(未知数的系数等于0)和整式方程有解(未知数的系数不等于0)，但分式方程无解(最简公分母等于0)两种情况讨论.增根，只是无解的一种情况，解出整式方程后，满足最简公分母为0，再求出相应字母的值即可.
